1225について(平方◯◯数)
《まず基本情報》1225は三角平方数 = 35^2 = (1/2) × 49 × 50 、また
1225 = 21^2 + 28^2 (3n+1の型)
また、この1225は、3乗数(立方数)4つの和で、3通り表せる、最小の数である。つまり、
1^3 + 2^3 + 6^3 + 10^3 = 1225
3^3 + 7^3 + 7^3 + 8^3 =1225
4^3 + 6^3 + 6^3 + 9^3 =1225
この形式が作れる数の中で最小の数であるらしい。
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ほんとかどうか確かめるため、pythonで一応やっちゃいました。
n=1225
n=w^3+x^3+y^3+z^3
その時にw,x,y,z>0なら
11^3=1331
から1～10までしか検索する必要がないことが分かる
[pythonの例]
def calc(n):
・for w in range(1,11):
・・for x in range(1,11):
・・・for y in range(1,11):
・・・・for z in range(1,11):
・・・・・if (w**3+x**3+y**3+z**3==n):
・・・・・・return (w,x,y,z)
(w,x,y,z)=calc(1225)
print(f"{w},{x},{y},{z}") #1,2,6,10
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では、この次にこの形式が作れる数は何なのだろう?一体どのくらい大きい数なのか、それとも意外にそこまで大きくない桁数で見つかるのだろうか。
閑話休題。
◯この数は、1225 = 35^2 = (1/2) × 49 × 50 より
「平方数」 かつ (49th)「三角数」である。(立法数で無い事に注意)
これも一松先生の「教室に電卓を!」(海鳴社)の第11章: 「四角い三角」と言う章のところで詳しい解説がしてあります。(平方三角数と言うらしい)
ちなみに、⚫︎=(1/2)×▲×▪️ する方法は、 2× ⚫︎= x^2 + x を解く(▪️= ▲+1より)
◯問1. これより小さな条件満たす数(平方数かつ三角数)が一つある。見つけられるでしょうか？
◯2. この1225より大きいものとしては、
204^ = 41616 = (1/2) × 288 × 289
1189^ = 1413721 = 皆さま計算してみて下さい
☆ここで新たな問いが建てられる。
「平方数」であり同時に「立方数」であるような数(平方立方数)全てを求めよ。
「平方三角数」
「平方立方数」
の数列を二ール・スローンの数列大辞典で調べてみたいが今は気力がない…後日、調べたらこのページの記事に更新させていただきます。
13872^3(立法数でもある)
※この記事を書いていて、ウィキペディアですごい一般式をオイラーが発見していることを知りました。
所持している(オンライン整数列大辞典のN.J.A.SLOANE ニール・スローン)の紙の辞典
オンラインになる前の紙の辞典
では、M 5259にウィキペディアより多くの項まで載っています。
その前後にも似たような数列があり(ラゲール多項式の係数とか)不思議すね。M 5259の数列下の、G.F. : と言うのは、いわゆる母関数or生成関数(generating function) の事です。
つまり、この場合、
(1+x) / (1-x)(1-34x-x^2)
というのが平方三角数の母関数(もしくは生成関数とも言う)です。多項式の割り算の形になっていますね。
つまり、無限に続く数列(無限級数という)の閉じた形と言うことです。その数列の“本質・正体“とも言えると思います。
では本当に上記の母関数が、平方三角数を生み出すことができるのか
多項式の割り算をしていけば係数の部分に、平方三角数が次々と現れます。
